Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD；
（2）利用勾股定理列式求出AB的长度，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出BE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3，
∴DE=3；

（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=8+4
=12．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）三角形周长的转换．