Question

11．如图，?ABCD，AE⊥BD，CF⊥BD，连接AF、CE．求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 连接AC，与BD相交于点O，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．

解答 证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对边平行且相等；对角线互相平分的四边形是平行四边形．