Question

15．下表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
1
2    3    4
5    6    7    8    9
10   11   12   13   14   15    16
17   18   19   20   21   22   23    24   25
26   27   28   29   30   31   32   33    34   35   36
…
（1）表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是n²-2n+2，最后一个数是n²，第n行共有2n-1个数；
（3）求第n行各数之和（列出计算式子即可）．

Answer 1

分析 （1）先从给的数中得出每行最后一个数是该行数的平方，即可求出第8行的最后一个数，再根据每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，即可求出第8行共有的个数；
（2）根据第n行最后一数为n²，得出第一个数为n²-2n+2，根据每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，即可得出答案；
（3）通过（2）得出的第n行的第一个数和最后一个数以及第n行共有的个数，列出算式，进行计算即可．

解答 解：（1）从给的数中可得，每行最后一个数是该行数的平方，
则第8行的最后一个数是8²=64，
每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，
第8行共有8×2-1=15个数；
故答案为：64，8，15；

（2）由（1）知第n行的最后一数为n²，
则第一个数为：（n-1）²+1=n²-2n+2，
第n行共有2n-1个数；
故答案为：n²，2n-1；

（3）因为第n行的第一个数是n²-2n+2，最后一个数是n²，共有（2n-1）个数，
所以第n行各数之和是$\frac{{n}^{2}-2n+2{+n}^{2}}{2}$•（2n-1）=2n³-3n²+3n-1．
故答案为：
（1）64，8，15；
（2）n²-2n+2，n²，2n-1．

点评 本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是本题的关键．