Question

1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为4.8．

Answer 1

分析 先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A=90°，则证明四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，则EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP⊥BC时，AP的值最，然后利用面积法计算此时AP的长即可．

解答 解：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴EF的最小值为$\frac{24}{5}$．
故答案为4.8．

点评 此题考查了矩形的判定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．