Question

如图，在△ABC中，BE、CF是中线，且BE⊥CF，AC=b，AB=c（c＞b）
（1）求BC的长；
（2）若△ABC存在，讨论

b

c

的取值范围．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：（1）O为△ABC重心，设OE=x，OF=y，则BO=2x，CO=2y，在Rt△COE、Rt△BOF、Rt△BOC中分别利用勾股定理，即可表示出BC的长．
（2）若△ABC存在，则c+b＞BC和c-b＜BC，由此得出不等式，解不等式，可得

b

c

的取值范围．

解答：解：（1）O为△ABC重心，设OE=x，OF=y，则BO=2x，CO=2y，
在Rt△COE、Rt△BOF、Rt△BOC中，有：

x2+4y2= 1 4 b2 ① y2+4x2= 1 4 c2 ② 4x2+4y2=BC2 ③

，
②-①得，3x²=BC²-

1

4

b²，
4×②-③，得：12x²=c²-BC²，
∴BC=

1

5

5(c2+b2)

；

（2）若△ABC存在，则c+b＞BC和c-b＜BC，
得：

(c+b)2＞ 1 5 (c2+b2) ④ (c-b)2＜ 1 5 (c2+b2) ⑤

，
不等式④恒成立，不等式⑤2b²-5bc+2c²＜0，
解得：

1

2

＜

b

c

＜2，
故当

1

2

＜

b

c

＜2时这样的三角形成立．

点评：本题考查了三角形的三边关系，涉及了勾股定理、重心的性质及三角形的三边关系，解答本题需要同学们熟练掌握基础知识，掌握数形结合思想的运用．