Question

2．如图（1），将长方形OABC沿着AC翻折后得到△ADC，AD交BC于点E，已知点B坐标为（8，4）．
（1）判断△ACE的形状，并证明；
（2）求直线AC和直线AD的函数关系式；
（3）如图（2），一条垂直于x轴的直线x=t分别交直线AD、AC于M、N．是否存在t的值，使MN=5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质得到∠OAC=∠AC，根据矩形和平行线的性质得到∠OAC=∠ACB，等量代换得到∠DAC=∠ACB，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）根据矩形的性质和点B坐标可得A、C坐标，根据待定系数法可得直线AC的函数关系式；根据勾股定理得到BE的长，得到E的坐标，根据待定系数法可得直线AD的函数关系式；
（3）分别用t表示出M、N的纵坐标，再根据两点间的距离公式得到关于t的方程，解方程即可求解．

解答 （1）证明：由翻折的性质得∠OAC=∠AC，
∵四边形OABC是长方形，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△ACE是等腰三角形的；
（2）解：∵点B坐标为（8，4），
∴A（8，0），C（0，4），
设直线AC的函数关系式为y=k₁x+b₁，则$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=4}\end{array}\right.$．
故直线AC的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
设AE=x，则BE=8-x，
在Rt△ABE中，x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
∴E的坐标为（5，4），
设直线AD的函数关系式为y=k₂x+b₂，则$\left\{\begin{array}{l}{5{k}_{2}+{b}_{2}=4}\\{8{k}_{2}+{b}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{4}{3}}\\{{b}_{2}=\frac{32}{3}}\end{array}\right.$．
故直线AD的函数关系式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$；
（3）当x=t时，M的纵坐标为-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$、N的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t+4，
∵MN=5，
∴-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$-（-$\frac{1}{2}$t+4）=5，
解得t=2
或∴-$\frac{1}{2}$t+4-（-$\frac{4}{3}$t+$\frac{32}{3}$）=5，
解得t=14．
综上所述，t的值为2或14．

点评 考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：翻折的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，待定系数法求直线解析式，方程思想，综合性较强，有一定的难度．