Question

7．如图，点P在∠MAN内，点B，C分别是AM，AN上的点，∠MBC和∠NCB的平分线相交于点P．若∠APB=24°，则∠ACB的度数为48°．

Answer 1

分析 过点P作PD⊥AM于D，PE⊥BC于E，PF⊥AN于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PE，PE=PF，从而得到PD=PF，再根据到角的两边距离相等点在角的平分线上判断出AP平分∠MAN，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠ACB=2∠APB．

解答 解：如图，过点P作PD⊥AM于D，PE⊥BC于E，PF⊥AN于F，
∵BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD=PF，
∴AP平分∠MAN，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，
在△ABC中，∠CBM=∠BAC+∠ACB，
在△ABP中，∠PBM=∠BAP+∠APB，
∵BP是∠MBC的平分线，
∴∠PBM=$\frac{1}{2}$∠CBM，
∴∠BAP+∠APB=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ACB=2∠APB=2×24°=48°．
故答案为：48°．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等点在角的平分线上的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．