Question

2．读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为$\sum_{n=1}^{100}n$，这里“∑”是求和符号．例如：1+3+5+7+9+…+99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为$\sum_{n=1}^{50}（2n-1）$；又如1³+2³+3³+…+8³+9³+10³可表示为$\sum_{n=1}^{10}{n}^{3}$．通过对上以材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为$\sum_{n=1}^{50}2n$；
（2）计算$\sum_{2}^{2016}\frac{1}{n（n-1）}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中的新定义得出结果即可；
（2）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+…+100=$\sum_{n=1}^{50}2n$，
故答案为：$\sum_{n=1}^{50}2n$；

（2）$\sum_{2}^{2016}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

点评 此题考查了数字的变化规律及有理数的加法，弄清题中的新定义是解本题的关键．