Question

14．阅读材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0
∴（m-n）²+（n-4）²=0，∴（m-n）²=0，（n-4）²=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x²-2xy+2y²+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²-10a-12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a-b=8，ab+c²-16c+80=0，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 （1）根据x²-2xy+2y²+6y+9=0，应用因式分解的方法，判断出（x-y）²+（y+3）²=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a²+b²-10a-12b+61=0，应用因式分解的方法，判断出（a-5）²+（b-6）²=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
（3）首先根据a-b=8，ab+c²-16c+80=0，应用因式分解的方法，判断出（a-4）²+（c-8）²=0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．

解答 解：（1）∵x²-2xy+2y²+6y+9=0，
∴（x²-2xy+y²）+（y²+6y+9）=0，
∴（x-y）²+（y+3）²=0，
∴x-y=0，y+3=0，
∴x=-3，y=-3，
∴xy=（-3）×（-3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a²+b²-10a-12b+61=0，
∴（a²-10a+25）+（b²-12b+36）=0，
∴（a-5）²+（b-6）²=0，
∴a-5=0，b-6=0，
∴a=5，b=6，
∵6-5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a-b=8，ab+c²-16c+80=0，
∴a（a-8）+16+（c-8）²=0，
∴（a-4）²+（c-8）²=0，
∴a-4=0，c-8=0，
∴a=4，c=8，b=a-8=4-8=-4，
∴a+b+c=4-4+8=8，
即a+b+c的值是8．

点评 （1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．