Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=

k

x

的一支在第一象限交四边形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）双曲线的另一支在第

 

象限，k的取值范围是

 

；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=1，求双曲线的表达式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由双曲线y=

k

x

的一支在第一象限，可得双曲线的另一支在第三象限，k的取值范围是：k＞0；
（2）由点C的坐标为（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，可得点A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），即可得S_阴影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，继而求得答案；
（3）首先延长CA交y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，易得△ODN∽△OCM，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，又由S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，S_△OAC=1，即可得：

k 2

1+ k 2

=

1

4

，继而求得答案．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

的一支在第一象限，
∴双曲线的另一支在第三象限，k的取值范围是：k＞0；
故答案为：三，k＞0；

（2）∵点C的坐标为（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，
∴点A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），
∴AC=2-

k

2

，CE=2-

k

2

，
∴S_阴影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
∴当k=2时，阴影部分的面积S最小，
此时点E的坐标为：（2，1）；

（3）延长CA交y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，
∴DN∥OB，BC⊥OB，
∵AC∥OB，CM⊥y轴，
∴△ODN∽△OCM，
∴

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，
∵点A与点D在双曲线y=

k

x

的图象上，
∴S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，
∵S_△OAC=1，
∴

k 2

1+ k 2

=

1

4

，
解得：k=

2

3

．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．