Question

如图，等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形．
（1）求AF的长；
（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函数即可求解；
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．

解答：解：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=

3

2

R，则AF=

3

R

（2）S_△ABC＜S_△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=

2

R，
∴S_△ABC=R²
S△AEF=3×

1

2

OG•AF，OG=

1

2

R，S△AEF=

3

4

R•

3

R=

3 3

4

R2＞R2
∴S_△ABC＜S_△AEF

点评：本题主要考查了正多边形与圆的计算，正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径，正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算．