Question

16．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P在直线AB上（选填“在”或“不在”）．
当α=15°时，OQ经过点B；
（2）在OQ旋转过程中，α=60°时，点P，A间的距离最小？PA最小值为1；
（3）探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠DOQ=∠ABO=45°，于是得到结论；
（2）根据OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是得到AP≥OP-OA=2-1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果；
（3）分三种情况；①根据切线的性质得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，解直角三角形得到OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，SO′=2$\sqrt{3}$，KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，于是得到结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．

解答 解：（1）在，
当OQ过点B时，在R_t△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60°-45°=15°；
故答案为：在，15°；

（2）如图2，连接AP，
∵OA+AP≥OP，
当OP过点A，即α=60°时，等号成立，
∴AP≥OP-OA=2-1=1，
∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，
∴PA的最小值=1；
故答案为：60°，1；

（3）半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，
OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2$\sqrt{3}$，KO′=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG=$\frac{1}{2}$KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OGK中，sinα=$\frac{KG}{OK}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα=$\frac{KG}{OK}=\frac{\frac{1}{2}O′K}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（O′T-KT）}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\frac{1}{2}}{5}$=$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60°，

∴sinα=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上所述sinα的值为：$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$或$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．