Question

4．已知（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc），求证：ac=bd．

Answer 1

分析 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算，再合并同类项，根据完全平方公式即可求解．

解答 证明：（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）
=（ab+ac+b²+bc）（cd+ac+d²+ad）
=abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²+abcd
=2abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²；
（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc）
=abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+abcd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abcd+abc²+bcd²+acd²+abd²+abcd
=4abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abc²+bcd²+acd²+abd²；
∵（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc），
∴2abcd+a²bc+abd²+a²bd+a²c²+ac²d+acd²+a²cd+b²cd+ab²c+b²d²+ab²d+bc²d+abc²+bcd²
=4abcd+a²cd+a²bd+a²bc+b²cd+ab²d+ab²c+bc²d+ac²d+abc²+bcd²+acd²+abd²，
a²c²+b²d²=2abcd，
a²c²-2abcd+b²d²=0，
（ac-bd）²=0，
ac-bd=0，
ac=bd．

点评 此题考查了多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．