已知函数y=mx2-x+m-2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围.并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式,中求得的函数记为C1．①当n≤x≤-1时.y的取值范围是1≤y≤-3n.求n的值,②函数C2:y=m(x-h)2+k的图象由函数C1的图象平移得到.其顶点P落在以原点为圆心.半径为$\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数C1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数y=mx²-（2m-5）x+m-2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C₁．
①当n≤x≤-1时，y的取值范围是1≤y≤-3n，求n的值；
②函数C₂：y=m（x-h）²+k的图象由函数C₁的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为$\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数C₁的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C₂的解析式．

分析（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；
（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤-1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值-3n，然后将x=n，y=-3n代入求解即可；
（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C₂的解析式．

解答解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[-（2m-5）]²-4m（m-2）＞0，
解得：m＜$\frac{25}{12}$且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x²+x．

（2）抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{4}$．
∵n≤x≤-1＜-$\frac{1}{4}$，a=2＞0，
∴当n≤x≤-1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=-3n．
∴2n²+n=-3n，解得n=-2或n=0（舍去）．
∴n的值为-2．

（3）∵y=2x²+x=2（x+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴M（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）．
如图所示：

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：-$\frac{1}{4}$k=-$\frac{1}{8}$，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴OM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
设点P的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x）．
由两点间的距离公式可知：OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得：x=2或x=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C₂的解析式为y=2（x-2）²+1．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，找出PM取得最大值的条件是解题的关键．

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