Question

1．如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使∠MBN=135°，则MN的最小值是（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分析：由已知可知M、N分布在AB两侧，因为∠ABC=90°，∠MBN=135°，所以∠ABM+∠CBN=45°，根据∠ACB=45°，由三角形外角的性质得到∠CBN+∠N=45°，所以∠ABM=∠N 同理可得∠BMA=∠CBN，所以△BMA～△NBC，根据三角形相似的性质可求得AM•CN=1，由不等式AM+CN≥2AM•CN，当且仅当AM=CN时，等式成立，可求得AM+CN的最小值，进一步求得的最小值．

解答 解：易知M、N必分布在AB的两侧，
∵∠MBN=135°，∠ABC=90°
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∵∠ACB=∠CBN+∠N=45°，
∴∠ABM=∠N，同理∠BMA=∠CBN，
∴△BMA～△NBC，
∴$\frac{BC}{AM}=\frac{CN}{AB}，即\frac{1}{AM}=\frac{CN}{1}$，
∴AM•CN=1，
∴MN=AM+AC+CN≥2AM•CN+$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
当且仅当AM=CN时成立，
∴$M{N}_{min}=2+\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本试题考查了线段的最值问题，这类题目一方面要考虑两点之间线段最短，另一方面我们还可以利用均值不等式（即a+b≥2ab，当且仅当a=b时等式成立，a、b 为正数）