Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O半径为1，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N，
（1）写出点M、D、N的坐标；
（2）抛物线过点M、D、N，它的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求cos∠BDF的值与EF的长．
（3）探索：将⊙O作怎样的平移，才能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上．

Answer 1

分析：（1）根据⊙O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案；
（2）根据待定系数法求出抛物线的解析式，再利用配方法求出顶点坐标即可，再利用解直角三角形求出cos∠BDF的值；
（3）根据平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1），得出O′的坐标为（0，1）或（1，1），再利用当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1），得出O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1），再利用平移分析即可．

解答：解：（1）∵⊙O半径为1，
∴D（0，1），
∵过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N，
CO=1，AO=1，
∴M（-1，-1）、N（1，1）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵点D、M、N在抛物线上．
∴得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

，
解之，得：

a=-1 b=1 c=1

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+1．
∵y=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

，
∴抛物线的对称轴为x=

1

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

．
连接BF，∠BFD=90°，
∴

DE

DB

=

OD

FD

，
又DE=

5

2

，OD=1，DB=2，
∴FD=

4 5

5

，
∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
在直角三角形DOE中，cos∠BDF=

DO

DE

=1÷

5

2

=

2 5

5

．

（3）∵⊙O半径为1，平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上，
∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上
当平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1）．
则-m²+m+1=1，
解得m₁=0，m₂=1，
∴O′的坐标为（0，1）或（1，1）
当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1）．
则-n²+n+1=-1，
解得n₁=-1，n₂=2，
∴O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1）
∴①将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位，能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
②将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移1个单位（或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移

2

个单位），能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
③将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的负方向平移1个单位，（或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移

2

个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；
④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移2个单位，（或将⊙O沿着直线y=

1

2

x的向下方向平移

2

个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，主要利用一次函数的性质以及平移的性质以及二次函数的性质综合应用，数形结合得出，题目综合性较强．