Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x²+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x²+bx+c，得

，

解得．

故二次函数的表达式y=x²﹣x+4；

（2）如图：

延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，

GD=GD′EF=E′F，

（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE，

由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．

由勾股定理，得

DE==，D′E′==，

（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE=+；

（3）如下图：

OD=．

∵S△ODP的面积=12，

∴点P到OD的距离==3．

过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P₁，P₂，

在Et△OGF中，OG===6，

∴直线GF的解析式为y=x﹣6．

将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，

解得：，，

将x₁、x₂的值代入y=x﹣6得：y₁=，y₂=

∴点P₁（，），P₂（，）

如下图所示：

过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P₃，P₄，

在Rt△PFO中，OG==6

∴直线FG的解析式为y=x+6，

将y=x+6代入y=得：x+6=

解得：，

y₁=x₁+6=，y₂=x₂+6=

∴p₃（，），p₄（，）

综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．

点评：

本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．