Question

【题目】如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析

【解析】

（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答．

（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，

∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，

∴△ABD与△BCD都是等边三角形，

∴∠BDE＝∠C＝60°，

∵AE+CF＝2，

∴CF＝2﹣AE，

又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，

∴DE＝CF，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：

由（1）可知△BDE≌△BCF，

∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，

∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，

∴△BEF是等边三角形，

由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF．

故答案为：（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析．