Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三点． 
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第一象限内抛物线上的一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）过点M作MN⊥x轴于N，根据△AMB的面积S=S_梯形ONMB+S_△AMN-S_△AOB列式整理即可得到S与m的关系式，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征，设点Q（x，-x），再分①OB是平行四边形的边，分点P在点Q的上方和下方两种情况表示出点P的坐标，然后根据点P在抛物线上，列出方程求解即可；②OB是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分表示出点P的坐标，然后根据点P在抛物线上，列出方程求解．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
把点B（0，4）代入得，-8a=4，
解得a=-

1

2

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

2

（x-4）（x+2），
即y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
如图，过点M作MN⊥x轴于N，
∵点M的横坐标为m，
∴ON=m，AN=（4-m），MN=-

1

2

m²+m+4，
∴△AMB的面积S=S_梯形ONMB+S_△AMN-S_△AOB，
=

1

2

（-

1

2

m²+m+4+4）×m+

1

2

（4-m）（-

1

2

m²+m+4）-

1

2

×4×4，
=-m²+4m，
∴S关于m的函数关系式为：S=-m²+4m，
∵S=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴当m=2时，S有最大值为4；

（3）∵点Q是直线y=-x上的动点，
∴设点Q（x，-x），
①OB是平行四边形的边时，若点P在点Q的上方，则点P的坐标为（x，-x+4），
∵点P在抛物线y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²+x+4=-x+4，
整理得，x²-4x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=4，
此时，点Q的坐标为（4，-4），
若点P在点Q的下方时，则点P的坐标为（x，-x-4），
∵点P在抛物线y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²+x+4=-x-4，
整理得，x²-4x-16=0，
解得x₁=2+2

5

，x₂=2-2

5

，
此时，点Q的坐标为（2+2

5

，-2-2

5

）或（2-2

5

，-2+2

5

）；
②OB是平行四边形的对角线时，平行四边形对角线的交点为（0，2），
所以，点P的坐标为（-x，x+4），
∵点P在抛物线y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²-x+4=x+4，
整理得，x²+4x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=-4，
此时，点Q的坐标为（-4，4），
综上所述，点Q的坐标为（4，-4）或（2+2

5

，-2-2

5

）或（2-2

5

，-2+2

5

）或（-4，4）时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，不规则图形的面积的求解，平行四边形的性质，（1）利用抛物线交点式形式更简便，（2）把不规则图形转化为规则的四边形和三角形是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论．