Question

6．若正整数x，y，z满足方程组$\left\{\begin{array}{l}\;{x^3}-{y^3}-{z^3}=3xyz\\ \;{x^2}=7（y+z）\end{array}\right.$，则xyz的最大值为84．

Answer 1

分析 根据方程组$\left\{\begin{array}{l}\;{x^3}-{y^3}-{z^3}=3xyz\\ \;{x^2}=7（y+z）\end{array}\right.$，可以求得x的值，从而可以得到y+z的值，从而可以求得xyz的最大值，本题得以解决．

解答 解：由x³-y³-z³=3xyz，得
${x^3}-{y^3}-{z^3}-3xyz=\frac{1}{2}（x-y-z）[{{{（x+y）}^2}+{{（x+z）}^2}+{{（z-y）}^2}}]=0$．
∵x，y，z为正整数
∴（x+y）²+（x+z）²+（z-y）²＞0，
∴x-y-z=0，
∴x=y+z，
又∵x²=7（y+z），
∴x²=7x，
解得x=7或x=0（舍去），
∴y+z=7，
∴当x=7，y=3，z=4或x=7，y=4，z=3时，xyz有最大值84，
故答案为：84．

点评 本题考查高次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．