Question

2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点M，N，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形MNPQ是矩形．

Answer 1

分析 首先设AC与BD交于点O，AC与QM交于点F，BD与PQ交于点E，由AB=AD，CB=CD，可得AC是BD的垂直平分线，由点M，N，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，根据三角形中位线的性质，易证得四边形OEQF是平行四边形，则可得∠MQP=∠AOD=90°，同理：∠QMN=∠MNP=90°，继而证得四边形MNPQ是矩形．

解答 证明：如图，设AC与BD交于点O，AC与QM交于点F，BD与PQ交于点E，
∵AB=AD，CB=CD，
∴点A与点C都在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵点M，N，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴MQ∥BD，PQ∥AC，
∴四边形OEQF是平行四边形，
∴∠MQP=∠AOD=90°，
同理：∠QMN=∠MNP=90°，
∴四边形MNPQ是矩形．

点评 此题考查了矩形的判定、三角形中位线的性质以及平行四边形的性质与判定．注意证得AC是BD的垂直平分线与四边形OEQF是平行四边形是解此题的关键．