题目内容
【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=_______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．探究∠AOM与∠NOC之间数量关系，并说明你的理由；
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
【答案】（1）120°；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）6或24秒．
【解析】
（1）先根据角平分线的定义求出∠BOM的度数，继而根据平角的定义进行求解即可；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可.
（1）∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°，
∴∠BOM=
∠BOC=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-60°=120°；
（2）如图，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图a，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴∠BOM=90°-∠BON=60°，
∴10x=60，
∴x=6；
如图b，当ON平分∠AOC时，∠CON=∠AOC=30°，
∴ON旋转的角度是90°+150°+30°=240°，
∴10x=240，
∴x=24，
综上，x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒．
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