Question

9．若关于x的一元二次方程x²-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a²-ab+b²=18，则$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值是（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． 5
• D． -5

Answer 1

分析 根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a²-ab+b²=18变形成（a+b）²-3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=-3符合题意，再将$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$变形成$\frac{（a+b）^{2}}{ab}$-2，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵a、b为方程x²-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a²-ab+b²=（a+b）²-3ab=3²-3p=18，
∴p=-3．
当p=-3时，△=（-3）²-4p=9+12=21＞0，
∴p=-3符合题意．
$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}}{ab}$-2=$\frac{{3}^{2}}{-3}$-2=-5．
故选D．

点评 本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=-3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．