Question

抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，在其对称轴上有点P，当PA+PC取最小值时，P点坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：由两点之间线段最短可知当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小，再由P点要在对称轴上，可知P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，由（1）中求出的C点坐标即可得出抛物线的表达式，故可求出A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，把x=-1代入即可求出P点坐标；

解答：解：如图，∵两点之间线段最短，
∴当P点在线段BC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P点要在对称轴上，
∴P点应为线段BC与对称轴的交点，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴对称轴x=1，
由抛物线的表达式为：y=x^2-2x-3．
∴C（0，-3），
令y=0，则x²-2x-3=0．
解得：x₁=3，x₂=-1．
∴点A、B的坐标分别是A（-1，0）、B（3，0），
设直线BC的表达式为y=kx+b，则

3k+b=0 b=-3

解得 

k=1 b=-3

∴直线BC的表达式为y=x-3，
当x=1时，y=1×1-3=-2．
∴此时点P的坐标为（1，-2）；
故答案为（1，-2）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称--最短路线问题，找到P点是本题的关键．