Question

13．如图，正方形ABCD的边CD与Rt△EFG的直角边EF重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FE方向移动，在移动过程中，边CD始终与边EF重合（移动开始时点C与点F重合）．连接AE，过点C作AE的平行线交直线EG于点H，连接HD．已知正方形ABCD的边长为1cm，EF=4cm，设正方形移动时间为x（s），线段EH的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）当x=2时，AE的长为$\sqrt{2}$cm；
（2）试求出y关于x的函数关系式，并求出△EHD与△ADE的面积之差；
（3）当正方形ABCD移动时间x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$时，线段HD所在直线经过点B．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠ADE=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）根据题意表示出EC=4-x，ED=3-x，证明△AED∽△HCE，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可；
（3）根据正方形的性质得到∠ADB=45°，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）当x=2时，即CF=2cm，
则EC=EF-CF=2cm，又CD=1cm，
∴ED=1cm，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$cm，
故答案为：$\sqrt{2}$cm；
（2）∵正方形移动时间为x（s），
∴CF=x，
则EC=4-x，ED=3-x，
∵AE∥HC，
∴∠AED=∠HCE，又∠ADE=∠HEC，
∴△AED∽△HCE，
∴$\frac{AD}{EH}$=$\frac{DE}{EC}$，即$\frac{1}{y}$=$\frac{3-x}{4-x}$，
解得，y=$\frac{4-x}{3-x}$，
△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×（3-x）×1=$\frac{3-x}{2}$，
△EHC的面积=$\frac{1}{2}$×（4-x）×$\frac{4-x}{3-x}$=$\frac{（4-x）^{2}}{2（3-x）}$，
则△EHD的面积=$\frac{1}{2}$×（3-x）×$\frac{4-x}{3-x}$=$\frac{4-x}{2}$，
△EHD的面积-△ADE的面积=$\frac{1}{2}$；
（3）当线段HD所在直线经过点B时，
∵∠ADB=45°，∠ADE=90°，
∴∠EDH=45°，
∴EH=ED，即$\frac{4-x}{3-x}$=3-x，
解得，x₁=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍去），
故答案为：$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，正确相似三角形的判定定理和性质定理、等高的两个三角形的面积比等于对应的底的比是解题的关键，注意方程思想在解题中的应用．