Question

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，连接BE、ED、DF、FB，若∠ADF=∠CBE=90°．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC=30°，∠BEC=45°，请判断AB与CE有什么数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BCE≌△ADF，推出BE=DF，∠BEC=∠DFA，推出BE∥DF，由此即可证明；
（2）结论：AB=EC．作BH⊥AC于H．只要证明AB=2BH，EC=2BH即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠ADF=90°}\\{BC=AD}\\{∠BCE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ADF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）结论：AB=EC．
理由：作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠BAH=30°，
∴AB=2BH，
在Rt△BEC中，∵∠EBC=90°，∠BEC=45°，BH⊥CE，
∴EH=HC，
∴EC=2BH，
∴AB=EC．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．