Question

11．在△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，D是AB的中点，则tan∠BCD+tan∠ACD=（　　）

• A． $\frac{25}{12}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 首先在△ABC中，由sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，可设BC=3k，则AB=5k，利用勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4k，那么tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4k}{3k}$=$\frac{4}{3}$，tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB，由等边对等角得到∠BCD=∠B，∠ACD=∠A，所以tan∠BCD+tan∠ACD=tan∠B+tan∠A=$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{25}{12}$．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴可设BC=3k，则AB=5k，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4k，
∴tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4k}{3k}$=$\frac{4}{3}$，tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BCD=∠B，∠ACD=∠A，
∴tan∠BCD+tan∠ACD=tan∠B+tan∠A=$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{25}{12}$．
故选A．

点评 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，根据条件得出∠BCD=∠B，∠ACD=∠A是解题的关键．