Question

3．如图，在等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，求梯形的面积．

Answer 1

分析 用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决．

解答 解：延长DM交CB的延长线于点E，
∵AD∥CE，∴∠ADM=∠E，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM与△BEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠BEM}\\{∠AND=∠BME}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BEM（ASA），
∴AD=BE．
∵AD=2，BC=8，
∴AD+BC=10，
∴EB+BC=10，即CE=20，过A作AN⊥BC于N，DF⊥BC于F，
则NF=AD=2，
∵AB=CD，
∴BN=CF=3，
∵DM⊥CD，DF⊥BC，
∴△DEF∽△CDF，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{DF}{EF}$，
∴DF²=3×7=21，
∴DF=$\sqrt{21}$，
∴S_梯形ABCD=S_△DCE=$\frac{1}{2}$×10×$\sqrt{21}$=5$\sqrt{21}$．

点评 本题考查的是梯形和解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积．