Question

12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABE，△AFC是等腰直角三角形，AB=5，AC=3，求EF长．

Answer 1

分析 在直角三角形ABC中，由AC与AB的长，利用勾股定理求出BC的长，延长FA，过E作延长线的垂线，垂足为D，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=AB，利用AAS得到三角形AED与三角形ABC全等，利用全等三角形对应边相等得到ED=BC，AD=AC，求出DF的长，在直角三角形EDF中，利用勾股定理求出EF的长即可．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，
根据勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
延长FA，过E作延长线的垂线，垂足为D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∵∠FAC=∠ACB=90°，
∴∠DAC=90°，AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵∠EAD+∠BAD=90°，
∴∠EAD+∠ABC=90°，
∴∠AED=∠ABC，
在△AED和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠ABC}\\{∠D=∠ACB=90°}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABC（AAS），
∴ED=BC=4，AD=AC=3，
在Rt△EDF中，ED=4，DF=AD+AF=3+3=6，
根据勾股定理得：EF=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．