如图①.在平面直角坐标系中.直线y=-$\frac{1}{2}$x+6与x轴交于点A.与直线y=x交于点B.沿M为线段OA的中点.C.D两点同时从点M出发.均以每秒1个单位的速度沿x轴分别向终点O.A运动.以CD为边向上作正方形CDEF.设C.D两点运动的t．.△ABO的面积为24,(2)当点E落在直线y=-$\frac{1}{2}$x+6上时.求t的值,在运动过程中.点F� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+6与x轴交于点A，与直线y=x交于点B，沿M为线段OA的中点，C、D两点同时从点M出发，均以每秒1个单位的速度沿x轴分别向终点O、A运动，以CD为边向上作正方形CDEF，设C、D两点运动的t（s）（t＞0）．
（1）点B的坐标为（4，4），△ABO的面积为24；
（2）当点E落在直线y=-$\frac{1}{2}$x+6上时，求t的值；在运动过程中，点F能否与点B重合，请通过计算进行说明；
（3）设正方形CDEF与△ABO重叠部分图形的面积为S，当重叠部分图形为五边形时，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）如图②，在点C、D的运动过程中作点B关于直线EF、CF的对称点G、H，请直接写出以BG、BH为邻边的矩形与正方形CDEF重叠部分的面积小于$\frac{9}{8}$时t的取值范围．

分析（1）可以由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}X+6}\end{array}\right.$的解得到交点B的坐标，根据三角形面积公式可以求△AOB面积．
（2）①根据点E在AB上，利用相似三角形，可以确定t的值．
②先假设点F在直线AB上时，利用相似三角形求出t的值，进而确定点F的坐标，就可以判断点F与点B是否重合．
（3）先画出图象，有两种情形，再利用相似三角形的对应边成比例，求出重叠部分的面积．
（4）根据矩形的性质以及矩形面积公式，列出关于t的不等式，然后求出t的范围．

解答解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+6=0得x=12，故A（12，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，故B（4，4），
S_△ABO=$\frac{1}{2}×12×4$=24，
故答案分别为B（4，4），S_△ABO=24．

（2）图1中，当点E在AB上时，设直线AB与y轴交于点K，易知k（0，6），
∵ED∥KO，
∴$\frac{ED}{KO}=\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴t=$\frac{6}{5}$，
∴点E在直线AB上时，t=$\frac{6}{5}$．
图2中，当点F在AB上时，
∵FC∥OK，
∴$\frac{FC}{KO}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴$\frac{2t}{6}=\frac{6+t}{12}$，
∴t=2，
∴FC=2t=4，AC=6+t=8，
∴OC=OC-AC=12-8=4，
∴点F坐标为F（4，4），
∵B（4，4），
∴点F与点B重合，
∴在运动过程中，点F能与点B重合．

（3）与（2）可知当$\frac{6}{5}$＜t＜2或2＜t＜6时，正方形CDEF与△ABO重叠部分是五边形．见图3、图4．
在图3中，正方形EFCD的边EF交AB于N，边ED交AB于H，
∵DH∥KO，
∴$\frac{HD}{KO}$=$\frac{AD}{AO}$，
∴$\frac{HD}{6}=\frac{6-t}{12}$，
∴HD=$\frac{1}{2}（6-t）$，EH=2t-$\frac{1}{2}$（6-t）=$\frac{5}{2}$t-3，
∵NE∥AD，
∴△ENH∽△DAH，
∴$\frac{EN}{AD}=\frac{EH}{HD}$，
∴EN=5t-6，
∴S=（2t）²-$\frac{1}{2}$•（5t-6）•（$\frac{5}{2}t-3$）=-$\frac{9}{4}{t}^{2}$+15t-9
（$\frac{6}{5}＜t＜2$）
在图4中，S=S_△AOB-S_△OCN-S_△ADH
=$\frac{1}{2}$×12×4-$\frac{1}{2}$•（6-t）²-$\frac{1}{2}$•（6-t）$•\frac{1}{2}（6-t）$
=24-27+9t-$\frac{3}{4}$t²
=-$\frac{3}{4}$t²+9t-3
（2＜t＜6）
综上所述S与t关系：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}{t}^{2}+15t-9}&{（\frac{6}{5}＜t＜2）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+9t-3}&{（2＜t＜6）}\end{array}\right.$．

（4）图5中，直线EF交BH于P，直线BH交OA于L，FC交HN于K，
∵B、H关于直线EF对称，B、G关于直线FC对称，
∴BP=PH=|4-2t|，HK=HN=|6-t-4|，
∴S_重叠=|6-t-4|•|4-2t|＜$\frac{9}{8}$
∴（t-2）²＜$\frac{9}{16}$
∴|t-2|＜$\frac{3}{4}$
∴-$\frac{3}{4}$＜t-2＜$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{5}{4}$＜t＜$\frac{11}{4}$．

点评本题考查了一次函数的图象与性质、相似形三角形的判定与性质以及多边形面积的求法，是一道运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．

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