Question

17．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，AB=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据公共边与已知构成SSS可以证明两三角形全等；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明△AEB是直角三角形，利用直角三角形30°角的性质得：BE=$\frac{1}{2}$AB=2．

解答 证明：在△ABC与△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AB=AD，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BAC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质，是常考题型，利用尺规作图的方式给出已知，所以注意阅读已知条件，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，在证明两三角形全等时，要注意找寻公共边、公共角、对顶角等条件；遇到30°角时，要考虑直角三角形30°角的性质的运用．