Question

【题目】如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．

（1）试证明：△ACD≌△EBD；

（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．

（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．

（1）证明：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ACD和△EBD中，

，

∴△ACD≌△EBD（SAS）．

（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，

∵AD是△ABC中线，

∴BD＝DC，

∵在△ADC和△FDB中

，

∴△ADC≌△FDB（SAS），

∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，

∵AM＝GM，

∴∠CAD＝∠AGM，

∵∠AGM＝∠BGF，

∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，

∴BG＝BF＝AC，

即BG＝AC．