Question

（1）如图，点O是△ABC内一点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且OB=OC，OD=OE，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）判断命题：“点O是△ABC所在平面内一点，OD⊥直线AB于D，OE⊥直线AC于E，且OB=OC，OD=OE，则△ABC是等腰三角形．”的真假，如果是命题请说明理由；若是假命题请举反例说明（画图说明）

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,命题与定理

专题：

分析：（1）根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB，然后根据三角形全等求得∠DBO=∠ECO，即可求得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边即可证得结论；
（2）通过画图即可说明此命题是假命题．

解答：（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
在RT△ODB和RT△OEC中，

OB=OC OD=OE

，
∴RT△ODB≌RT△OEC（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∴∠OBC+∠DBO=∠OCB+∠ECO，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）是假命题；
如图所示，O是∠BAC的平分线与BC的垂直平分线的交点，
所以OB=OC，OD=OE，但△ABC不是等腰三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，以及命题的判定等，（2）举出反例是解题的关键．