Question

1．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点P（6，8）及点P关于原点对称的点Q．
（1）求证：该抛物线一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴的交点为C，连接AC，BC，设∠CBA=α，∠CAB=β，是否满足tanα=tanβ的抛物线？如果存在，求出它的解析式，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出点P关于原点对称的点Q的坐标，把点P、Q的坐标代入解析式，用a不是b、c，根据判别式判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）根据tanα=tanβ，得到OA和OB的关系，进行判断即可．

解答 解：（1）点P关于原点对称的点Q的坐标为（-6，-8），
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=8}\\{36a-6b+c=-8}\end{array}\right.$，
解得c=-36a，b=$\frac{4}{3}$，
∴解析式为：y=ax²+$\frac{4}{3}$x-36a，
△=$\frac{16}{9}$+144a²＞0，
∴抛物线一定与x轴有两个不同的交点；
（2）∵tanα=tanβ，
∴OA=OB，
x₁+x₂=-$\frac{4}{3a}$=0，无解，
∴抛物线不存在．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法，掌握关于原点对称的点的坐标的关系和判别式是解题的关键，注意数形结合思想在解题中的运用．