Question

12．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一动点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N；
（1）如图①，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图②，当点H在线段FD上时，探究BE、DN的数量关系；
（3）连接AC，当以点E、F、H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠BEC=45°，推出BE=BC，即可得出答案；
（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，推出BE=CG，求出∠N=∠ECN，得出EN=EC，推出CN=2CG=2BE，又知CD=AB=4即可得出答案；
（3）求出∠AFE=∠CEB，推出∠HFE=∠AEC，分为两种情况：（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，推出∠EAC=∠ECB，求出tan∠EAC=tan∠ECB，代入$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$求出BE即可；（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，EG与AC交于点O．求出∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．求出∠CEG=∠ECA，推出EO=CO，设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，根据AO+CO=8k=5求出k，求出AE=$\frac{5}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$，即可得出答案

解答 解：（1）如图1，∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；
（2）如图2，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠N=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵CD=AB=4，
∴2BE-DN=4；
（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，
（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴BE=$\frac{9}{4}$，
∴DN=$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如图3，EG与AC交于点O．
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠HEG=∠CEG，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠HEG，
∴∠FHE=∠CEG，
∴∠CEG=∠ECA，
∴EO=CO，
设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=$\frac{5}{8}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$，
∴DN=1，
综上所述，线段DN的长为$\frac{1}{2}$或1

点评 本题考查了平行线性质，矩形性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是难度偏大．