Question

如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC=90°，由角的关系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切线，
（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，
（3））由△EAF∽△CBA，可得出

AB

AF

=

AC

EF

，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长．

解答：（1）证明：如图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切线．

（2）证明：如图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，
∴

AB

AF

=

AC

EF

，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴

AB

4

=

6

2AB

，解得AB=2

3

．
∴EF=4

3

，
∴AE=

EF2-AF2

=

(4 3 )2-42

=4

2

，

点评：本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解．