Question

4．如图，E（2，3），F（3，2）在正方形OABC的边上，⊙D分别切OE，OF于E，F，则⊙D的半径为$\frac{{\sqrt{13}}}{5}$．

Answer 1

分析 连接OB、EF交于H，由E、F的坐标得出CE=AF=2，BE=BF=1，根据正方形的性质得出OB平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一得出OB⊥EF，且平分EF，根据垂径定理得出OB经过圆心D，连接DE，根据切线的性质得出DE⊥OE，根据勾股定理得出OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，EH=BH=$\sqrt{\frac{1}{2}E{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，然后根据△EDH∽△OEH，对应边成比例即可求得圆D的半径．

解答 解：连接OB、EF交于H，
∵E（2，3），F（3，2）
∴B（3，3），
∴CE=AF=2，BE=BF=1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OB平分∠ABC，
∴OB⊥EF，且平分EF，
∴OB经过圆心D，
连接DE，
∵E是⊙D的切点，
∴DE⊥OE，
在RT△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△BDE中，EH=BH=$\sqrt{\frac{1}{2}E{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在RT△OHE中，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∵△EDH∽△OEH，
∴$\frac{ED}{OE}$=$\frac{EH}{OH}$，即$\frac{ED}{\sqrt{13}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$，
∴ED=$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{13}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理勾股定理等，作出辅助线关键直角三角形是解题的关键．