Question

15．已知二次函数y=mx²+2（m+2）x+m+9．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过，点A（4，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）先把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9求出m=-1，则抛物线解析式为y=-x²+2x+8，配成顶点式得y=-（x-1）²+9，于是得到抛物线的对称轴为直线x=1，接着确定B（0，8），然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-2x+8，再求自变量为1时的一次函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）根据题意得m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，
所以m＜$\frac{4}{5}$且m≠0；
（2）把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9得16m+8（m+2）+m+9=0，
解得m=-1，
所以抛物线解析式为y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=0时，y=-x²+2x+8=8，则B（0，8），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-2x+8，
当x=1时，y=-2x+8=6，
所以P点坐标为（1，6）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．