Question

13．如图，PA切⊙O于A，PC交⊙O于B、C两点，M为$\widehat{BC}$的中点，AM交BC于点D．求证：PA=PD．

Answer 1

分析 由切线的性质可知∠PAD+∠MA0=90°，由垂径定理的推理可知OM⊥BC，从而得到∠OMD+∠MDC=90°，然后由等腰三角形的性质和对顶角的性质可知证明∠PAD=∠PDA，从而可证明PA=PD．

解答 解：连接AO、OM．

∵M是弧BC的中点，
∴OM⊥BC．
∴∠ADP=∠CDM=90°-∠OMA．
∵AP为圆的切线，
∴OA⊥AP．
∴∠PAD=90°-∠OAM．
∵AO=OM，
∴∠OAM=∠OMA．
∴∠PAD=∠PDA．
∴PA=PD．

点评 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理的应用、掌握切线的性质和垂径定理的推理是解题的关键．