Question

14．梯形ABCD中，AD∥BC，若要使顺次连接ABCD各边中点所得的四边形为矩形，只需（　　）

• A． AB=DC
• B． AC=BD
• C． AB=DC且AC=BD
• D． AC⊥BD

Answer 1

分析 根据所有中点四边形均是平行四边形，然后添加使得平行四边形为矩形的条件即可．

解答 解：如图，当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选D．

点评 此题主要考腰梯形的性质、平行四边形判定、三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．