Question

10．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=$\frac{4}{3}$，求线段AB的长，sin∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，通过证得△ABO≌△DBO，证得∠ODB=∠OAB=90°，从而证得BD⊥OD，得出BC是⊙O的切线；
（2）通过正切函数求得OC，即可求得AC，然后通过正切函数求得AB，最后根据∠ADB=∠DAB=∠AOB，从而求得sin∠ADB的值．

解答 解：（1）连接OD，
∵BA=BD，BO⊥AD，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABO和△DBO中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABO=∠DBO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SAS），
∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，
∴BD⊥OD，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵在RT△ODC中，CD=$\frac{OD}{tan∠C}$=$\frac{8}{\frac{4}{3}}$=6，
∴OC=10，
∴AC=18
在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×$\frac{4}{3}$=24，
∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，
∴sin∠ADB=sin∠AOB=$\frac{24}{\sqrt{2{4}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$，

点评 本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．