Question

14．如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$；
（1）求向量$\overrightarrow{MN}$（用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示）；
（2）在图中求作向量$\overrightarrow{MN}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）首先平移向量$\overrightarrow{MN}$，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．

解答 解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，
∵点M、N分别为DC、BC的中点，
∴$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow a$，$\overrightarrow{NC}=\frac{1}{2}\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$．

方法二：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，
∵点M、N分别为DC、BC的中点，
∴$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b$；

（2）作图：结论：$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AQ}$是向量$\overrightarrow{MN}$分别在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．

点评 此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．