Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点P是CB边上的一点，且tan∠PAC＝，⊙O是△APB的外接圆．

（1）求证：∠PAC＝∠ABC；

（2）求证：AC是⊙O的切线；

（3）求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）通过证明△ACP∽△BCA，可得∠PAC=∠ABC；

（2）作直径AD，交⊙O于点D，连结PD，由圆周角定理可求∠PDA=∠PAC=∠ABC，可证AD⊥AC，即可得⊙O与直线AC的位置关系；
（3）利用锐角三角函数可求CP，PD的长，由勾股定理可求AP的长，AD的长，可得⊙O的半径．

解：（1）证明：在Rt△ACP中，tan∠PAC＝＝，

∵AC＝2，BC＝4，

∴＝，

∴＝，

∵∠PCA＝∠ACB＝90°，

∴△ACP∽△BCA，

∴∠PAC＝∠ABC；

（2）证明：如图，作⊙O的直径AD，交⊙O于点D，连接PD，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠APD＝90°，

∴∠PAD＋∠PDA＝90°，

∵∠PDA＝∠ABC，∠PAC＝∠ABC，

∴∠PDA＝∠PAC，

∴∠PAC＋∠PAD＝90°，

∴∠CAD＝90°，

∴AD⊥AC，

∵AD为⊙O的直径，

∴AC是⊙O的切线；

（3）∵tan∠PAC＝＝，AC＝2，

∴PC＝1，

∴AP＝＝

∵∠PDA＝∠PAC，

∴tan∠PAC＝tan∠PDA＝＝，

∴PD＝2AP＝，

∴AD＝，

∴⊙O的半径为．