Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

（3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）①；②G（4，）或（4，6）．

【解析】

（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可；

（2）由C的纵坐标求得F的坐标，由△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；

（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，由圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由tan∠ECF==，得到tan∠FDE=；

②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为，设直线DG1的解析式为，设直线DG2的解析式为，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．

（1）如图1，∵抛物线交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y=3代入得，，解得x=0或x=4，∴F（4，3），∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，∵∠OCD=∠EDH，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∴OD=4﹣3=1；

（3）①如图3，连接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF==，∴tan∠FDE=；

②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为，设直线DG1的解析式为，∵D（1，0），∴，解得m=，∴直线DG1的解析式为，当x=4时，=，∴G1（4，）；

设直线DG2的解析式为，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线DG2的解析式为，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，）或（4，6）．