Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：要证B、E、F、C四点共圆，只需证∠AEF=∠ACB，只需证△AEF∽△ACB，只需证

AE

AF

=

AC

AB

即AE•AB=AF•AC；易证△AED∽△ADB，从而得到AD²=AE•AB，同理AD²=AF•AC，问题得以解决．

解答：解：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ADB=90°．
又∵∠DAE=∠BAD，
∴△AED∽△ADB，
∴

AE

AD

=

AD

AB

，即AD²=AE•AB．
同理可得AD²=AF•AC，
∴AE•AB=AF•AC，即

AE

AF

=

AC

AB

．
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴B、E、F、C四点共圆．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定等知识，证到AE•AB与AF•AC都等于AD²是解决本题的关键．