Question

6．如图，点A、B分别在x轴、y轴上，且OA=OB，P为动点，且PA⊥PB．
（1）如图①，P在第一象限时，求∠OPA的度数；
（2）如图②，P在第四象限时，求∠OPA的度数；
（3）在（2）的条件下，如图③，过O作OE⊥BP于E，判断线段BP、AP、EO之间的数量关系，写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）根据∠BOA=90°，∠APB=90°，可得O、B、P、A四点共圆，从而转换为求∠OBA 的度数；
（2）判断O、B、P、A四点共圆，根据“对角互补”，可得∠OPA的度数；
（3）BP=AP+2EO，在BP上取点F使EF=EP，连接OF，证明△AOP≌△BOF即可．

解答 解：（1）如图①，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴O、B、P、A四点共圆，
∴∠OPA=∠OBA=45°；
（2）如图②，过点O作OD⊥AB于点D，连接PD，
∵∠BOA=90°，BP⊥AP，
∴OD=BD=AD，
∴点D为AB的中点，
∴OD=DA=DB=PD，
∴O、B、P、A四点共圆，
∵∠OBA=45°，
∴∠OPA=135°．
（3）BP=AP+2EO，
证明：如图③，在BP上取点F使EF=EP，连接OF，
∵∠OPA=135°，
∴∠OPE=45°，
∵OE⊥BP，
∴OE=EP=EF，OF=OP，
∴∠FOP=90°，
∴∠AOP+∠FOA=∠BOP+∠FOA=90°，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OF=0P}\end{array}\right.$
∵△AOP≌△BOF，
∴BF=AP，
∴2EO+AP=FP+BF=BP，
即BP=AP+2EO．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．