Question

一次函数y=

2

3

x-2的图象分别交x轴、y轴于点A，B，O是原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）过△AOB的顶点能否画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？如能，可以画出几条？写出这样的直线相应的函数表达式．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）△ABO的面积S=

1

2

OA•OB，找出A、B两点坐标即可求出△ABO的面积；
（2）先设出该直线的解析式，分别从不同定点计算，看是否存在这种直线．

解答：解：（1）直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（3，0），B（0，-2）．
即OB=|-2-0|=2，OA=|3-0|=3，
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×3×2=3；

（2）过三角形AOB的顶点能画出直线把△ABO分成面积相等的两部分，这样的直线可以画出3条．
①△ABO的OB边上的中线AC可把△ABO分成面积相等的两部分．
∵OB=2，C是OB的中点，
∴C（0，-1）．
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁．
根据题意，得

3k1+b1=0 b1=-1

，
解得

k1= 1 3 b1=-1

．
即直线AC的解析式为y=

1

3

x-1；
②△ABO的OA边上的中线BD可把△ABO分成面积相等的两部分．
∵OA=3，D是OA的中点，
∴D（

3

2

，0）．
设直线BD的解析式为y=k₂x+b₂．
根据题意，得

b2=-2 3 2 k2+b2=0

，
解得

k2= 4 3 b2=-2

．
即直线BD的解析式为y=

4

3

x-2；
③△ABO的AB边上的中线OE可把△ABO分成面积相等的两部分．
根据三角形的中位线可求得E（

3

2

，-1）．
设直线OE的解析式为y=k₃x．
根据题意，得，

3

2

k₃=-1
解得k=-

2

3

．
即直线OE的解析式为y=-

2

3

x．

点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题的关键．