Question

【题目】如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且，点为中点，，连接，延长交于点．

（1）若，求的长度；

（2）若，求证．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由等腰三角形三线合一得AE⊥BM，在Rt△ACE中，求出AE，再在Rt△AEM中求出AM即可；
（2）如图，作EH⊥AF于H，EG⊥DC交DC的延长线于G，由Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH=CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH=FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN=CF，推出AN+AF=FC+AF=FG-CG+FH+AH=2FH，由EF=FH，即可解决问题

（1）解： ∵AB=AM，点为中点，
∴AE⊥BM，BE=EM=2
在Rt△ACE中，∵AC=，EC=EM+CM=5，
∴AE==，
在Rt△AEM中，AM==；
（2）如图，作EH⊥AF于H，EG⊥DC交DC的延长线于G．

∵平行四边形，

∴AB∥CD，

∵

∴AF⊥CD

∵AE⊥BM，

∵∠AEC=∠AFC=90°，

∵，
∴∠EFA=∠EFG=45°，∠EAC=45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH=EG，
∵∠ACE=∠EAC=45°，
∴AE=EC，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH=CG，
∵EF=EF，EH=EG，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH=FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN=∠OCF，
∵∠AON=∠COF，OA=OC，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN=CF，
∴AN+AF=FC+AF=FG-CG+FH+AH=2FH，
∵∠EFA =45°，EH⊥FA，

∴EF=FH，
∴AN+AF=EF．