Question

20．如图，Rt△ABC中，BC=11cm，AC=7cm，点M从点B出发沿BC匀速向点C运动，点N从点C出发沿CA匀速向点A运动．
（1）如果点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，则当点M运动多少时间时，△MCN的面积等于24cm²？
（2）已知点N的速度每秒比点M快1cm，两点同时出发，运动3秒后点N和点M相距10cm，求点M和点N运动的速度．

Answer 1

分析 （1）设当点M运动t秒时，则CN=2t，CM=11-t，利用三角形的面积建立方程解答即可；
（2）设点M运动的速度为xcm/s，则点N运动的速度为（x+1）cm/s，CN=3（x+1），CM=11-3x，利用勾股定理建立方程解答即可．

解答 解：（1）设当点M运动t秒时，则CN=2t，CM=11-t，由题意得
$\frac{1}{2}$×2t•（11-t）=24，
解得：t₁=3，t₂=8（C到A的时间不大于3.5，不合题意，舍去）．
答：当点M运动3s时，△MCN的面积等于24cm²；
（2）设点M运动的速度为xcm/s，则点N运动的速度为（x+1）cm/s，CN=3（x+1），CM=11-3x，由题意得
（3x+3）²+（11-3x）²=10²，
解得x₁=1，x₂=$\frac{5}{3}$，
则x+1=2，
x+1=$\frac{8}{3}$（AC=7，不合题意，舍去）．
答：点M运动的速度为1cm/s，则点N运动的速度为2cm/s．

点评 此题考查了一元二次方程的实际运用，利用三角形的面积与勾股定理建立方程是解决问题的关键．