Question

9．已知抛物线C：y=x²-4x．
（1）求抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）将抛物线C向下平移，得抛物线C′，使抛物线C′的顶点落在直线y=-x-7上．
①求抛物线C′的解析式；
②抛物线C′与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线C′的对称轴于x轴的交点为N，点M是线段AN上的一点，过点M作直线MF⊥x轴，交抛物线C′于点F，点F关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MF上一点，且MP=$\frac{1}{4}$MF，连接PD，作PE⊥PD交x轴于点E，且PE=PD，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）①可设平移后的抛物线解析式为y=x²-4x-m，可求得其顶点坐标，代入直线y=-x-7，可求得m的值，则可求得抛物线C′的解析式；②连接FD，由条件可证明△EPM≌△PDF，可求得PM=DF，EM=PF，设出F点坐标，则可分别表示出PM和DF的长，由条件可得到关于点F坐标的方程，可求得M、F的坐标，则可出E点坐标．

解答 解：
（1）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-4）；
（2）①设抛物线C′的解析式为y=（x-2）²-4-m，
则抛物线C′的顶点坐标为（2，-4-m），
∵抛物线C′的顶点落在直线y=-x-7上，
∴-4-m=-2-7，解得m=5；
②如图，连接FD，

由①可得抛物线C′的解析式为y=x²-4x-5，
令y=0可得x²-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（5，0），
∵点F关于抛物线对称轴对称点为D，且MF⊥x轴，
∴DF⊥MF，
∴∠EMP=∠PFD=90°，
∵PE⊥PD，
∴∠EPD+∠MPE=∠EPD+∠D=90°，
∴∠MPE=∠D，
在△EPM和△PDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠D}\\{∠EMP=∠PFD}\\{PE=PD}\end{array}\right.$
∴△EPM≌△PDF（AAS），
∴PM=DF，EM=PF，
设点F坐标为（t，t²-4t-5），
∵点M在线段AN上，
∴-1＜t＜2，
∴DF=2（2-t），PM=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），
∵PM=DF，
∴2（2-t）=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），解得t=1或t=11（不合题意，舍去），
∴M（1，0），F（1，-8），
∴MF=8，MP=2，
∴PF=8-2=6，
∴EM=PF=6，
∴OE=OM+ME=7，
∴E点坐标为（7，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、图象的平移、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中把抛物线解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）①中求得平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键，在（2）②中构造全等三角形，用F点的坐标表示出PM和DF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．